您的位置: 首页 > 软件教程 > C++教程专题 > 阶乘相关的算法及其C++实现

阶乘相关的算法及其C++实现

8.5分
出处:网络 时间:2012-04-06

您可能感兴趣的话题: C++  

核心提示:有关阶乘的算法,不外乎两个方面:一是高精度计算;二是与数论相关。

  有关阶乘的算法,不外乎两个方面:一是高精度计算;二是与数论相关。

  一、 高精度计算阶乘

  这实际上是最没有技术含量的问题,但是又会经常用到,所以还是得编写,优化它的计算。

  首先看小于等于12的阶乘计算(计算结果不会超出32位范围):

  int factorial(int n) {

  if (n == 1 || n == 0)

  return 1;

  return factorial(n-1)*n;

  }

  这个递归程序简单明了,非常直观,然而一旦n > 12,则超过32位int型的范围出现错误结果,所以上面这个递归程序仅适合n <= 12的阶乘计算,为了计算较大n的阶乘,需要将高精度乘法算法纳入到阶乘计算中来,高精度乘法过程可以如下简单的描述:(其中A * B = C,A[0], B[0], C[0]分别存储长度)

  for (i = 1; i <= A[0]; i++)

  for (j = 1; j <= B[0]; j++) {

  C[i+j-1] += A[i]*B[j];        // 当前i+j-1位对应项 + A[i] * B[j]

  C[i+j] += C[i+j-1]/10;       // 它的后一位 + 它的商(进位)

  C[i+j-1] %= 10;                // 它再取余即可

  }

  C[0] = A[0] + B[0];

  while (C[0] > 1 && C[C[0]] == 0) C[0]--;   // 去头0,获得实际C的长度

  有了这个高精度乘法之后,计算阶乘就可以简单的迭代进行:

  for (i = 2; i <= n; i++) {

  将i转换成字符数组;

  执行高精度乘法:将上一次结果乘上i

  }

  二、 与数论有关

  由于阶乘到后面越来越大,巧妙的利用数论求得一些有趣的数字(数值)等成为阶乘算法的设计点,下面给出几道相关的问题与分析:

  (1)   计算阶乘末尾第一个非0数字:

  这是一个比较经典的问题,比较复杂的算法是利用一个艰难的数学公式,可惜我不会,从网上的资料学习中,整理出下面这个简单易懂的算法:

  观察n!,可以发现在乘的过程中,对于任意 n > 1,n!的末尾第一个非0数字都是偶数。我们只需保留最后一位非零数。当要乘的数中含有因数5时,我们可以把所有的因数5都当作8来乘。这是因为:

  …x2*5=…10(舍)或…60,最后一位非零数为6。而恰好2*8=16,末位为6。

  …x4*5=…70(舍)或…20,最后一位非零数为2。而恰好4*8=32,末位为2。

  …x6*5=…30(舍)或…80,最后一位非零数为8。而恰好6*8=48,末位为8。

  …x8*5=…90(舍)或…40,最后一位非零数为4。而恰好8*8=64,末位为4。

  (对于n > 1时,最后一位不会出现 1, 7, 3, 9,而永远是2, 4, 6, 8的循环出现)

  因此,在迭代作乘法时,主要就是计算因子5的数量,同时可见因子5的个数以4为循环节(即只需要取它的数量对4取模)。那么对于不同情况下的因子5的数量,可以通过res[5][4] = {{0,0,0,0}, {2,6,8,4}, {4,2,6,8}, {6,8,4,2}, {8,4,2,6}}来得到,使用nonzero[i]表示i的阶乘的最后一位,那么:

  如果t是偶数,则直接乘:nonzero[i] = (nonzero[i-1]*t)%10。

  否则nonzero[i] = res[((nonzero[i-1]*t)%10)/2][five];

  其中t是除掉所有因子5的结果,five为因子5数量对4的模。

  (2)。 阶乘末尾有多少个0

  分析发现,实际上形成末尾0,就是因子5的数量,而计算1~n之间包含一个因子i的个数的简单算法就是:

  cnt = 0; while (n) { n /= i; cnt += n; }

  因此,直接将i换成5,就可以得到因子5的数量,也即n!末尾0的数量。

  (3)。 返回阶乘左边的第二个数字

  简单算法:用实数乘,超过100就除以10,最后取个位即可。因为整数部分的个位就是阶乘结果左边的第二个数字。相关题目:

  (4)。 判断数值 m 是否可以整除 n!

  算法:使用素因子判断法

  A. 首先直接输出两种特殊情况:

  m == 0 则 0肯定不会整除n!;

  n >= m 则 m肯定可以整除n!;

  B. 那么就只剩最后一种情况:m > n,我们从m的最小素因子取起,设素因子为i那么可以   求得m的素因子i的个数 nums1;再检查闭区间 i ~ n 之间的数,一共包含多少个素因子i,就可以简单的利用上面(2)中所介绍的数学公式进行计算得到nums2。如果nums2 < nums1,就表示1 ~ n中包含素因子的数量 < 除数m包含素因子i的数量,那么m必然不能整除n!,置ok = false。

  C. 最后:如果 !ok or m > n or m == 0 则不能整除;否则可以整除

  (5)。数字N能否表示成若干个不相同的阶乘的和:

  这里可以选择的阶乘为:0! ~ 9!,实际上这一题与数论无关,与搜索有关。

  分析,由于可供选择的阶乘数量较少,直接可以利用DFS搜索来做:

  A. 首先将0 ~ 9的阶乘作一个表A[10];再设置一个可以组成“和”的数组ans[N]。

  B. 深度优先搜索方法:

  search(n) {

  for(i = n; i <= 9; i++) {

  sum += A[i];      //求和

  如果sum在ans数组中不存在,则将sum插入到ans[]数组中

  search(n+1);

  sum -= A[i];       //回溯

  }

  }

  C. 最后对于输入n,就在ans数组中查找是否存在n,如果存在,则表示n可以表示成不同的阶乘和,否则不行。

网友评论
多特网友 2012-05-21 08:55:31 回复
还不错,嘿嘿
多特网友 2012-03-20 09:00:39 回复
看来之后有所启发。以后能多举举实例么?那样可能更好!
多特网友 2012-03-20 09:00:39 回复
看来之后有所启发。以后能多举举实例么?那样可能更好!
多特网友 2012-05-21 08:55:31 回复
还不错,嘿嘿
精品软件课程
更多 >
Java,是由Sun Microsystem... [详细]
C语言是一种面向过程的计算机程序设计语言。多... [详细]
Visual Basic是一种由微软公司开发... [详细]
Oracle Database,又名Orac... [详细]
Visual Basic.NET是从 Vis... [详细]
Visual C++微软公司的C++开发工具... [详细]